Question

如图,已知平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD=DF

（1）若AB=5，CF=3,求DE的长（2）求证：AB=CF+DG

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∵AD=DF
∴DE=DF
∵AB=5，
∴CD=5
又∵CF=3，三角形CDF是直角三角形
∴根据勾股定理得DF=4
∴DE=4
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°

把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三点共线，
∴BF+HB=BF+FC，
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三点共线．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+CF，
∴AB=CF+DG．

 

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