Question

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数

则A. f(x)是偶函数 B. f（x）是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f（x+3）是奇函数 要有过程

Answer 1

分析：很明显f(x)是周期函数(下面会证明其周期T=4).又∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴f(x)图像关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称(f(x)的对称中心可由课本上的奇函数图像平移得到哦).您可以画个草图，如果一个函数在x轴上有多个对称中心,而且又是周期函数,一般可以把f(x)的草图特殊化变成正余弦函数图像研究其性质.如果f(x)图像关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称,且周期为4,那么画出来的草图只能保证一定有T=4,而T=2是有可能而不一定绝对会发生的事情.同样画图可知f(x)的奇偶性是不确定的.假设f(x)是个正弦形式的函数,当它的一个最高点经过y轴时,它是一个偶函数;当它的另外一个对称中心在原点时,它是一个奇函数.而上面2种情况都满足题意,所以不能确定f(x)的奇偶性.这是利用把问题特殊化的方法结合图像反证得到的.所以A和B不能选.C选项也只是有可能,不能一定成立,所以也不能选.用排除法可以确定D选项为正确答案.

解答：满足f(x+1)与f(x-1)都是奇函数的f(x)有f(x)=sin(πx)和f(x)=cos(πx/2).上面所举的2个特例一奇一偶,都符合题意，所以A和B都错.这2个反例函数的图像见下图,他们都关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称.

①f(x+1)是奇函数→f(-x+1)=-f(x+1)

②f(x-1)是奇函数→f(-x-1)=-f(x-1)

由①②得：

-f(x)=-f[(x+1)-1]=f[-(x+1)-1]=f(-x-2)

f(x)=-f(-x-2)=-f[(-x-3)+1]}=f[-(-x-3)+1]=f(x+4)

只能推出f(x)=f(x+4),故C选项“f(x)=f(x+2)”错.

③f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[(-x)-1]=f(x-1)

④-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)

由③④可知f(-x+3)=-f(x+3)，故D选项“f(x+3)是奇函数”对.

Answer 2

g（x）=f(x+1)是奇函数，则g（0）=f（1）=0，
且g（x)=-g(-x)即f（x+1)=-f(-x+1)
令t=x+1得到f（t）=-f（2-t）
h（x）=f(x-1)是奇函数，则h（0）=f（-1）=0，
且h（x)=-h(-x)即f（x-1)=-f(-x-1)
令t=-x-1得到f（t）=-f（-2-t）
所以 -f（2-t）=-f（-2-t）即 f（2-t）=f（-2-t）
令x=-2-t得到f（x）=f（x+4）
f（-3）=f（1）=0

Answer 3

额。如果只是单纯的告诉你说，f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，的确是你说的那样：f（x+1）=-f(-x-1)
，
f(x-1)=-f(-x+1)
可是这个你要看题目啊。原函数是f(x),而不是f(x+1)与f(x-1)。
根据你题目的意思，函数f(x)左移一个单位后的函数f(x+1)与右移一个单位后的函数f(x-1)均为奇函数，且定义域为R。这只能说明原函数f(x)本来就是一个特殊的函数：要么是周期为4的偶函数，要么是x=a的一个直线，要么是周期为2的奇函数。
这是选择题，没必要列出式子来，考虑要全面。懂了吧。。

Answer 4

我选B和D。如果是cosX这个函数。因为余弦函数本身就是偶函数，所以与f(x+1)和f(x-1)无关。
回答完毕保证正确

Answer 5

f(x+1)为奇函数，f(x)为f(x+1)向左平移一个单位→f(x)对称中心 (-1,0)
f(x-1)奇函数，f(x)为f(x-1)向右平移一个单位→f(x)对称中心
(+1,0)
→f(x)+f(2-x)=0，f(x)+f(-2-x)=0，
∴f(2-x)=f(-2-x)→f(x+2)=f(x-2)→f(x+4)=f(x)→f(x)是周期T=4的周期函数．
f(-x-1)=f(-x-1+4)=-f(x-1)=-f(x-1+4)→
f(-x+3)=-f(x+3)，
f(x+3)是奇函数
至于f(x)=cosx
f(x+π/2)与f(x-π/2)都是奇函数是特殊情况，举一个稍有些不太严格符合已知条件的例子：f(x)=cot(x)为奇函数，而f(x+π/2)与f(x-π/2)都是奇函数，故根据已知条件不足以得出f(x)是偶函数的结论。