在三角形ABC中,已知向量AC乘以向量AC等于3倍向量BA乘以向量BC(1)求证tan B=3ta
在三角形ABC中,已知向量AC乘以向量AC等于3倍向量BA乘以向量BC(1)求证tanB=3tanA(2)若cosC=根号5/5,求A的值...
在三角形ABC中,已知向量AC乘以向量AC等于3倍向量BA乘以向量BC(1)求证tan B=3tan A(2)若cos C=根号5/5,求A的值
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2014-06-06 · 知道合伙人软件行家
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AB dot AC=|AB|*|AC|*cosA,3BA dot BC=3|BA|*|BC|*cosB
故:|AB|*|AC|*cosA=3|BA|*|BC|*cosB,即:(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=3cosB/cosA
又:(1/2)*|AB|*|AC|*sinA=(1/2)*|BA|*|BC|*sinB
故:(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=sinB/sinA
所以:3cosB/cosA=sinB/sinA,即:3inA/cosA=sinB/cosB,即tanB=3tanA,证毕。
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cosC写错了吧,是cosC=sqrt(5)/5吧?cosC<1/2,故:π/3<C<π/2
而:A+B=π-C,故:π/2<A+B<2π/3
sinC=sin(A+B)=2/sqrt(5),即:sinAcosB+cosAsinB=2/sqrt(5)
而:3sinAcosB=cosAsinB,故:4sinAcosB=2/sqrt(5),即:sinAcosB=sqrt(5)/10
而:cos2B=(1-tanB^2)/(1+tanB^2)=(1-9tanA^2)/(1+9tanA^2)=2cosB^2-1
所以:cosB^2=1/(1+9tanA^2),所以:sinA^2/(1+9tanA^2)=1/20
而:2sinA^2=1-cos2A=1-(1-tanA^2)/(1+tanA^2)=2tanA^2/(1+tanA^2)
故:2tanA^2/(1+tanA^2)(1+9tanA^2)=1/10,即:9tanA^4-10tanA2+1=0
即:(tanA^2-1)(9tanA^2-1)=0,故:tanA^2=1或tanA^2=1/9
故:tanA=1或-1或1/3或-1/3,-1和1/3和-1/3不合题意,舍去
故A=π/4
AB dot AC=|AB|*|AC|*cosA,3BA dot BC=3|BA|*|BC|*cosB
故:|AB|*|AC|*cosA=3|BA|*|BC|*cosB,即:(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=3cosB/cosA
又:(1/2)*|AB|*|AC|*sinA=(1/2)*|BA|*|BC|*sinB
故:(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=sinB/sinA
所以:3cosB/cosA=sinB/sinA,即:3inA/cosA=sinB/cosB,即tanB=3tanA,证毕。
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cosC写错了吧,是cosC=sqrt(5)/5吧?cosC<1/2,故:π/3<C<π/2
而:A+B=π-C,故:π/2<A+B<2π/3
sinC=sin(A+B)=2/sqrt(5),即:sinAcosB+cosAsinB=2/sqrt(5)
而:3sinAcosB=cosAsinB,故:4sinAcosB=2/sqrt(5),即:sinAcosB=sqrt(5)/10
而:cos2B=(1-tanB^2)/(1+tanB^2)=(1-9tanA^2)/(1+9tanA^2)=2cosB^2-1
所以:cosB^2=1/(1+9tanA^2),所以:sinA^2/(1+9tanA^2)=1/20
而:2sinA^2=1-cos2A=1-(1-tanA^2)/(1+tanA^2)=2tanA^2/(1+tanA^2)
故:2tanA^2/(1+tanA^2)(1+9tanA^2)=1/10,即:9tanA^4-10tanA2+1=0
即:(tanA^2-1)(9tanA^2-1)=0,故:tanA^2=1或tanA^2=1/9
故:tanA=1或-1或1/3或-1/3,-1和1/3和-1/3不合题意,舍去
故A=π/4
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