Question

已知函数f(x)=2/3x^3-2ax^2-3x,(a∈R)大神们帮帮忙

(1)当│a│<=1/4时，求证：f(x)在区间（-1，1）内是减函数； (2)若函数y=f(x)在区间（-1，1）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f'(x)=2x^2-4ax-3=2(x^2-1)-(1+4ax) 由于x∈(-1,1),|a|<=1/4. 所以x^2-1<0,1+4ax>=1-4|ax|>1-4*(1/4)*1=0,即f'(x)<0,x∈(-1,1) 故当|a|<=1/4时，f(x)在区间（-1，1）内是减函数. (2)由题意可知：△=(-4a)^2-4*2*(-3)>0, 故有f'(-1)*f'(1)<0， 即(4a-1)(-4a-1)<0 解得a<-1/4或a>1/4.

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