Question

一道立体几何问题

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=a/3，过P,M,N的平面与棱CD交于Q，则PQ=____.
最好附上图

Answer 1

在CD取点Q，使得CQ=a/3，连结PQ，NQ，AC，

∵在棱长为a的正方体中，AP=a/3，CQ=a/3，

∴PQ‖AC，且PQ=(2/3)AC=(2√2a)/3.

又∵M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，

∴MN‖A1C1‖AC，

∴MN‖PQ，即M，N，P，Q四点共面，

又Q在CD上，

点Q就是过点P，M，N的平面与棱CD的交点.

因此，PQ= (2√2a)/3.