Question

小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高O

小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．OA=10米，当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处， 紧绷着的吊缆A′B′=AB．且cosA= 3 5 ，sinA′= 1 2 ．（1）求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离；（2）若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°，吊杆与水平线的倾角可以从30°转到60°，求吊车工作时，工作人员不能站立的区域的面积．

Answer 1

（1）过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E 根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC ∴∠A′ED=∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，∵cosA= AD OA = 3 5 ， OA=10， ∴AD=6， ∴OD=8，在Rt△A′OE中， ∵sinA′= OE OA′ = 1 2 OA′=10 ∴OE=5． ∴BC=ED=OD-OE=8-5=3． 在Rt△A′OE中， A′E= A ′ O 2 -O E 2 ， ∴B′C=A′C-A′B′ =A′E+CE-AB ， =A′E+CE-（AD+BD） =5 3 +2-（6+2） =5 3 -6 答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（5 3 -6）米； （2）当水平距离为吊杆与水平线的倾角为30°时，即吊车工作时工作人员不能站立的区域的半径， 在Rt△AOD中，OD=OA?cos30°=10×cos30°=5 3 ， ∵这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°， ∴工作人员不能站立的区域的面积为： 120 360 ×π×（5 3 ） 2 =25π平方米