Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线 经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120 0 ．

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线 经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120 0 ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

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Answer 1

解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵AO=OB=2，∴B（2，0）。 ∵∠AOB=120 0 ，∴∠AOD=30 0 ，∴AD=1，OD= 。 ∴A（－1， ）。 将A（－1， ），B（2，0）代入 ，得： ，解得 。 ∴这条抛物线的表达式为 。 （2）过点M作ME⊥x轴于点E， ∵ 。 ∴M（1， ），即OE=1，EM= 。 ∴ 。∴ 。 ∴ 。 （3）过点A作AH⊥x轴于点H ， ∵AH= ，HB=HO＋OB=3， ∴ 。 ∴ ，∴ 。 ∴ 。 ∴要△ABC与△AOM相似，则必须： ① ，或② 。 设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有 AO=2， ， ， 。 ①由 得， ，解得 。∴C 1 （4，0）。 ②由 得， ，解得 。∴C 2 （8，0）。 综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）。

试题分析：（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入 ，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。 （2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得 ，进而求得∠AOM的大小。 （3）由于可得 ，根据相似三角形的判定，分 ， 两种情况讨论。