Question

已知函数 f(x)= |x+m-1| x-2 ，m＞0且f（1）=-1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在

已知函数 f(x)= |x+m-1| x-2 ，m＞0且f（1）=-1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．

Answer 1

（1）由f（1）=-1，得 |m| -1 =-1 ，|m|=1， ∵m＞0，∴m=1． （4分） （2）由（1），m=1，从而 f(x)= |x| x-2 ，只需研究f（x）在（-∞，0]上的单调性． 当x∈（-∞，0]时， f(x)= -x x-2 ． 设x 1 ，x 2 ∈（-∞，0]，且x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )= - x 1 x 1 -2 - - x 2 x 2 -2 = 2( x 1 - x 2 ) ( x 1 -2)( x 2 -2) ，（6分） ∵x 1 ＜x 2 ≤0，∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 -2＜0，x 2 -2＜0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． ∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递增函数． （10分） （3）原方程即为 |x| x-2 =kx …① x=0恒为方程①的一个解． （11分） 若x＜0时方程①有解，则 -x x-2 =kx ，解得 x=2- 1 k ， 由 2- 1 k ＜0 ，得  0＜k＜ 1 2 ； （13分） 若x＞0且x≠2时方程①有解，则 x x-2 =kx ，解得 x=2+ 1 k ， 由 2+ 1 k ＞0 且 2+ 1 k ≠2 ，得 k＜- 1 2 或k＞0． （15分） 综上可得，当 k∈[- 1 2 ，0] 时，方程f（x）=kx有且仅有一个解； 当 k∈(-∞，- 1 2 )∪[ 1 2 ，+∞) 时，方程f（x）=kx有两个不同解； 当 k∈(0， 1 2 ) 时，方程f（x）=kx有三个不同解．   （18分）