Question

已知实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c|恒成立．则实数k的最大值为______

已知实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c|恒成立．则实数k的最大值为______．

Answer 1

∵a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，∴a≤b＜0＜c，c=- ab a+b ， 由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得 k≤ |a+b| |c| = |a+b| | -ab a+b | = |a+b| 2 ab = a 2 + b 2 +2ab ab  恒成立，故k小于或等于 a 2 + b 2 +2ab ab 的最小值． 又∵ a 2 + b 2 +2ab ab ≥ 2ab+2ab ab =4，故k≤4， 故答案为 4．