Question

如图所示，在直角坐标系 xoy 的第一象限内存在沿 y 轴负方向、场强为 E 的匀强电场，在第四象限内存在垂

如图所示，在直角坐标系 xoy 的第一象限内存在沿 y 轴负方向、场强为 E 的匀强电场，在第四象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，在磁场与电场分界线的 x 轴上有一无限大的薄隔离层．一质量为 m、电量为+q、初速度为零的带电粒子，从坐标为（ x 0 ，y 0 ）的 P 点开始被电场加速，经隔离层垂直进入磁场，粒子每次穿越隔离层的时间极短，且运动方向不变，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不计带电粒子所受重力．求：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径 R 1 ；（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标 y 1 ；（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间 t；（4）若带电粒子第四次穿越隔离层时刚好到达坐标原点 O，则 P 点横坐标 x 0 与纵坐标 y 0 应满足的关系．

Answer 1

（1）第一次到达隔离层时速度为v 0 qEy o = 1 2 mv o 2 ，v 0 = 2qE y 0 m 第一次穿越隔离层后速度为v 1 =k 2qE y 0 m 由qv 1 B=m v 1 2 R 1 ，得第一次在磁场中做圆周运动半径为 R 1 = m v 1 qB = 2 k 2 mE y 0 q B 2 （2）第二次穿越隔离层后速度为v 2 =k 2 2qE y 0 m -qEy 1 =0- 1 2 mv 2 2 ，得y 1 =k 4 y 0 （3）由y o = 1 2 qE m t 0 2 ，得第一次到达隔离层的时间为 t 0 = 2m y 0 qE 圆周运动的周期T= 2πm qB 第一次在磁场中做圆周运动时间为 t 1 = T 2 = πm qB 第二次穿越隔离层后到达最高点时间为 t 2 = v 2 a =k  2 2m y 0 qE 从开始到第三次穿越隔离层所用总时间 t=t 0 +t 1 +2t 2 =（1+2 k 2 ） 2 y 0 m qE + πm qB （4）第三次穿越隔离层后的速度为v  3 =k  3 2qE y 0 m 第二次在磁场中做圆周运动半径为R 2 = 2 k 6 mE y 0 q B 2 x 0 =2R 1 +2R 2 =（ 2 k+2 k  3 ） 2mE y 0 q B 2 答：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径为 2 k 2 mE y 0 q B 2 ． （2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标y 1 =k 4 y 0 （3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间为（1+2 k 2 ） 2 y 0 m qE + πm qB ． （4）P 点横坐标 x 0 与纵坐标 y 0 应满足的关系为：x 0 =（ 2 k+2 k 3 ） 2mE y 0 q B 2 ．