Question

如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．

如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)． (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2)若 G 为 BC 上的动点，求证： AE ⊥ PG .

Answer 1

如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)． (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积； (2)若 G 为 BC 上的动点，求证： AE ⊥ PG .

（1） （2）见解析

(1)由几何体的三视图可知，底面 ABCD 是边长为4的正方形， PA ⊥平面 ABCD ， PA ∥ EB ，且 PA ＝4 ， BE ＝2 ， AB ＝4.∴ V P-ABCD ＝ PA · S 四边形 ABCD ＝ ×4 ×4×4＝ . (2)∵ ＝ ，∠ EBA ＝∠ BAP ＝90°， ∴△ EBA ∽△ BAP ，∴∠ BEA ＝∠ PBA . ∴∠ BEA ＋∠ BAE ＝∠ PBA ＋∠ BAE ＝90°，∴ PB ⊥ AE 又∵ BC ⊥平面 APEB ，∴ BC ⊥ AE .∵ BC ∩ PB ＝ B ， ∴ AE ⊥平面 PBC .∵ PG ?平面 PBC ，∴ AE ⊥ PG .