Question

已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3?2n，n∈N*．（1）证明数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式

已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3?2n，n∈N*．（1）证明数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1＜r＜s且r，s∈N*，求证：使得a1，ar，as成等差数列的点列（r，s）在某一直线上．

Answer 1

（1）证明：将已知条件an+1+an=3?2n变形为an+1-2n+1=-(an-2n)…（1分）
由于a₁-2=3-2=1≠0，则

an+1-2n+1

an-2n

=-1（常数）…（3分）
即数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列…（4分）
所以an-2n=1?(-1)n-1=（-1）^n-1，即an=2n+（-1）^n-1（n∈N^*）．…（5分）
（2）解：假设在数列{a_n}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为a_k-1，a_k，a_k+1（k≥2，k∈N^*），由题意得，2a_k=a_k-1+a_k+1，
将ak=2k+(-1)k-1，ak-1=2k-1+(-1)k-2，ak+1=2k+1+(-1)k代入上式得…（7分）
2[2^k+（-1）^k-1]=[2^k-1+（-1）^k-2]+[2^k+1+（-1）^k]…（8分）
化简得，-2^k-1=4?（-1）^k-2，即2^k-1=4?（-1）^k-1，得（-2）^k-1=4，解得k=3，
所以，存在满足条件的连续三项为a₂，a₃，a₄成等比数列．…（10分）
（3）证明：若a₁，a_r，a_s成等差数列，则2a_r=a₁+a_s，
即2[2^r+（-1）^r-1]=3+2^s+（-1）^s-1，变形得2^s-2^r+1=2?（-1）^r-1-（-1）^s-1-3…（11分）
由于若r，s∈N^*且1＜r＜s，下面对r、s进行讨论：
①若r，s均为偶数，则2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；
②若r为奇数，s为偶数，则2^s-2^r+1=0，解得s=r+1；
③若r为偶数，s为奇数，则2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；
④若r，s均为奇数，则2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；…（15分）
综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a₁，a_r，a_s成等差数列，
此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中

2

∈(1， 2]为正奇数）上．…（16分）（不写出直线方程扣1分）