Question

过抛物线C：y2=2px上的点M（4，-4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|

过抛物线C：y2=2px上的点M（4，-4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=410，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得：抛物线方程为y²=4x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程是x=my+b，由

x＝my+b y2＝4x

，得y²-4my-4b=0，

y1+y2＝4m y1y2＝?4b

由k_AM+k_BM=0，得y₁+y₂=8，则m=2，
由弦长公式|AB|＝

1+m2

|y1?y2|＝4

10

，得b=-2，
因此直线AB的方程是x-2y+2=0
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点M，则由

MP

⊥

MQ

，
即有

MP

?

MQ

=0，
则（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，即(

y 2 1

4

?4)(

y 2 2

4

?4)+(y1+4)(y2+4)＝0，
化简，得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，
过PQ的直线为y＝

4

y1+y2

(x+

y1y2

4

)=

4

y1+y2

(x+

4(y1+y2)?32

4

)=

4

y1+y2

(x?8)+4，恒过（8，4）点．