如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．（1）求证：BD=2CD；（
如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．（1）求证：BD=2CD；（2）若AM=1nAC，其他条件不变，猜...
如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．（1）求证：BD=2CD；（2）若AM=1nAC，其他条件不变，猜想BD与CD的倍数关系，并证明你的结论．
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解答：
解：①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．
②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM=
a，AE=CG=
=
a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴
=
=
，则EM=
?CG=
?
a，
∴BE=BM-EM=
a-
?
a=
a，
∴
=
=
．
解：①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．
②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM=
| 5 |
| AB?AM |
| BM |
2
| ||
| 5 |
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴
| EM |
| CG |
| AM |
| AC |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
2
| ||
| 5 |
∴BE=BM-EM=
| 5 |
| 1 |
| n |
2
| ||
| 5 |
| 5n?2 |
| 5n |
| 5 |
∴
| BD |
| DC |
| BE |
| GC |
| 5n?2 |
| 2n |
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