Question

第5题求详解几何向量两种方法

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Answer 1

正四棱锥的性质告诉你侧面是4个全等的等腰三角形,而P又是SD中点,所以对应中线会相等,有PA=PC.这是几何法中需要你知道的一步.
几何法:连接OP,易证PA=PC
由正四棱锥的性质可知O是正方形ABCD的中心,即O是AC中点
∴OP⊥AC,OD⊥AC

∴∠POD是面PAC和面ABCD所成角
∵SO=OD,∴∠POD=45°,∴sinPOD=√2/2
∵∠ACB=45°,∴sinACB=√2/2

设BC和面PAC所成角为θ,由三正弦定理得sinθ=sinACBsinPOD=1/2,∴θ=30°

三正弦定理是求二面角或者直线和平面所成角的方法.二面角的大小为β,在一个半平面内的一条直线和另一个半平面所成角为γ,该直线和二面角的棱所成角为α,就有sinγ=sinαsinβ
向量法:以OB,OC,OS为坐标轴建系,并设SO=OB=OC=2
则B(2,0,0),C(0,2,0),∴BC→=(-2,2,0)
P(-1,0,1),A(0,-2,0),∴PC→=(1,2,-1),AC→=(0,4,0)

设面PAC法向量为n→=(x,y,1),则
x+2y-1=0
4y=0
解得n→=(1,0,1)
设BC和面PAC所成角为θ,则sinθ=|cos<n→,BC→>|=|-2+0+0|/[√(4+4+0)*√(1+0+1)]=1/2
∴θ=30°