Question

已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0与到y轴的距离之和的最小值是？

已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0与到y轴的距离之和的最小值是？ 详细答案啊！

Answer 1

设p到垂直y轴交于O，垂直准线交于Q，那么P到y轴的距离为PO，p到准线的距离为PQ。
根据定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，准线方程为X=-1，焦点F（1,0）
∴PF=PQ ∵PO+OQ=PQ
又因为OQ=1 ∴PO=PF-1
问题于是转化为PF-1到直线l：2x－y＋3＝0与到y轴的距离之和的最小值。
于是求F到直线的距离（垂直最短），用距离公式d=（2-0+3）/根号5=根号5
∴答案等于（根号5）-1

简单解释一下为什么要求F到直线的距离。
随便找个P点，作P到直线l的垂线交于E，即PE为PP到直线l的距离d，连接PF，EF。
发现PEF是一个三角形，且EF是最长边。
∵两边之和大于第三边，所以PE和PF之和最短的时候就是等于第三边即EF的时候，而EF就是上面所求的F到直线的距离d。