Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 b n = 1 n( a n +3) (n∈ N * )， S n = b 1 + b 2 +…+ b n ，求 S n ＞ 1 36 ．

Answer 1

（1）∵等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列， ∴ ( a 1 +d)( a 1 +13d)=( a 1 +4d ) 2 整理得： 2 a 1 d= d 2 ， ∵a 1 =1，解得d=2（d=0舍去） ∴ a n =2n-1(n∈ N * ) ， （2） b n = 1 n( a n +3) = 1 2n(n+1) = 1 2 ( 1 n - 1 n+1 ) ， ∴S n =b 1 +b 2 +…+b n = 1 2 [(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )] = 1 2 (1- 1 n+1 ) ， ∴当n=1时，S n 取最小值 S 1 = 1 2 (1- 1 2 ) = 1 4 ＞ 1 36 ． ∴ S n ＞ 1 36 ．