Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。 （1）判

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。 （1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；（3）在（2）的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE= K·DE”，其中k是为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值。（用k的代数式表示）

Answer 1

解：（1）如图（1），S 四边形BCEF =S 正方形ABCD -S △ABF -S △DEF =4 2 -1/2×4×a-1/2×2×（4-a）=12-a， ∵F为AD边上一点，且不与点D重合， ∴0≤a<4， ∴当点F与点A重合时，a=0， S 四边形BCEF 存在最大值12；S 四边形BCEF 不存在最小值；
（2）如图（2），延长BC、FE交于点P ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴△DEF∽△CEP， ∵E为CD的中点， ∴ ，PF=2EF， ∵∠BFE=∠FBC， ∴PB=PF， ∵AF=a， ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=PF/2=8-a/2， ∵Rt△DEF中，EF 2 =DE 2 +DF 2 ， ∴（8-a/2） 2 =2 2 +（4-a） 2 ， 整理，得3a 2 -16a+16=0 ， 解得a 1 =4/3，a 2 =4， ∵F点不与D点重合， ∴a=4不成立，a=4/3，tan∠AFB=AB/AF=3；
（3）tan∠AFB=2k+1（K为正整数）