Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．求证：（1）∠BAF=∠ADB；（2）∠ADB=∠EDC．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠BAF+∠DAF=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AFD=90°， ∴∠DAF+∠ADB=90°， ∴∠BAF=∠ADB． （2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M， 则∠ACM=90°=∠BAC， ∴CM ∥ AB， ∴∠MCE=∠ABC=∠ACB， ∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°， ∴∠ABD=∠CAM， 在△ABD和△CAM中 ∵ ∠DAB=∠ACM AB=AC ∠ABD=∠CAM ， ∴△ABD≌△CAM（ASA）， ∴∠ADB=∠M，AD=CM， ∵D为AC中点， ∴AD=DC=CM， 在△CDE和△CME中， ∵ CD=CM ∠DCE=∠MCE CE=CE ， ∴△CDE≌△CME（SAS）， ∴∠M=∠EDC， ∵∠M=∠ADB， ∴∠ADB=∠EDC．