Question

已知二次函数f(x)=ax 2 +bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点，若函数f(

已知二次函数f(x)=ax 2 +bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点，(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)= f(x)+ + x 2 在 (0， ]上是单调减函数，求实数k的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

（1）f(x)= - x 2 +x；（2）k ；（3）同解析。

(1)f(x+1) ="a(x+1)" 2 +b(x+1) =" ax" 2 +(2a+b)x+a+b为偶函数， ∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax 2 -2ax，′ ∵函数f(x)有且仅有一个不动点，∴方程f(x)=x有且仅有一个解， ∴ax 2 -(2a+1)x=0有且仅有一个解，∴2a+1=0，a=- ，∴f(x)= - x 2 +x (2) g(x)= f(x)+ + x 2 =x+ 在 (0， ]上是单调增函数， 当k 0时，g(x)= x+ 在(0，+ )上是单调增函数，∴不成立；′ 当k>0时，g(x)= x+ 在(0， ]上是单调减函数，∴ ，∴k （3）∵f(x)= - x 2 +x= - (x-1) 2 + ，∴kn ，∴n <1， ∴f(x)在区间[m，n]上是单调增函数 ∴ ，即 ，方程 的两根为0，2-2k′ 当2-2k>0，即 k<1时，[m，n]= [0，2-2k] 当2-2k<0，即k>1时，[m，n]= [2-2k，0]′ 当2-2k=0，即k=1时，[m，n] 不存在′