Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是圆的直径，两条对角线AC与BD相交于点P，且P是AC的中点，BP=2PD，直线MN

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是圆的直径，两条对角线AC与BD相交于点P，且P是AC的中点，BP=2PD，直线MN切⊙O于A，若∠MAB=30°，BC=8，则∠ADC=______，对角线BD长为______．

Answer 1

①∵直线MN切⊙O于A，∠MAB=30°，∴∠ABD=30°．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°．
②由①可知：∠ABC=∠MAB=30°．．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°．
又BC=8，∴AC=BC?cos30°=4

3

．
∵P是AC的中点，∴PA=PC=2

3

．
已知BP=2PD，设PD=x，则BP=2x．
由相交弦定理可得：BP?PD=AP?PC，∴2x2＝(2

3

)2，解得x=

6

．
∴对角线BD的长=3x=3

6

．
故答案分别为120°，3

6

．