已知两个自然数的和是54，最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个数
这两个数为24和30。
解析：设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数，则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，因为a，b，c都是正整数，所以b可能是2或3或6。
经检验b为2或3 a，c都无正整数解，所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5，所以 X=ab=24 Y=cb=30。
最小公倍数性质：
最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解，有唯一的解)。因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的N次方，是只能被X的N及以下次方，1和自身数整除。所以，给最小公倍数下一个定义：S个数的最小公倍数，为这S个数中所含素因子的最高次方之间的乘积。
最大公因数和最小公倍数之间的性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。
已知两个自然数的和是54，最小公倍数与最大公约数的差是114，这两个数分别是24和30。
本题考查最小公倍数与最大公约数的知识，解题方法如下：
1、根据题意列出等式，并由此求出两数的最大公约数的取值范围是完成本题的关键。
解：设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数：
则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19。
2、因为a、b、c都是正整数，所以b可能是2或3或6。经检验，b为2或3a，c都无正整数解，所以b只能是6，由此可知a=4，c=5。所以 ：
X=ab=24
Y=cb=30
答：这两个数分别为24，30。
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最小公倍数计算方法：
1、分解质因数法：先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
2、公式法：由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a、b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
这两个数分别为24，30。
解答过程如下：
设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数，则：
ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9
abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19
因为a，b，c都是正整数，所以b可能是2或3或6。
经检验，b为2或3 a，c都无正整数解。
所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5。
所以 X=ab=24 Y=cb=30。
答：这两个数分别为24，30。
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最大公约数的求法
1、质因数分解法
把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
2、短除法
短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因数是13．
3、辗转相除法
求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。
4、更相减损法
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，
abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，
因为a，b，c都是正整数
所以b可能是2或3或6．
经检验，b为2或3 a，c都无正整数解．
所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5．
所以 X=ab=24 Y=cb=30．
答：这两个数分别为24，30．
最小公倍数和最大公约数的差是114=3×38=2×3×19
又，两个自然数的和是54，是最大公约数的倍数
54=2×3×3×3
比较得最大公约数2×3=6
两个数是6×2,6×7，即12或42
