Question

已知函数f（x）=（1-x）ex-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g(x)＝f(x)x，x＞-1且x≠0，证明：g

已知函数f（x）=（1-x）ex-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g(x)＝f(x)x，x＞-1且x≠0，证明：g（x）＜1．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的最大值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．
当-1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．
设h（x）=f（x）-x，
则h′（x）=-xe^x-1．
当x∈（-1，-0）时，0＜-x＜1，0＜e^x＜1，
则0＜-xe^x＜1，
从而当x∈（-1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（-1，0]单调递减．
当-1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，
即g（x）＜1．
综上，总有g（x）＜1．