Question

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-23（Ⅰ）求

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-23（Ⅰ）求a、b、c、d的值；（Ⅱ）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f（x1）-f（x2）|≤43．（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，…（2分）
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，∴3a+c=0，且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1．
（Ⅱ）证明：∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，令f′（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f(x)max＝f(?1)＝

2

3

，f(x)min＝f(1)＝?

2

3

，
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤

2

3

，
于是x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

3

+

2

3

＝

4

3

．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）解：当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k1＝x12?1，k2＝x22?1，
且(x12?1)(x22?1)＝?1，（*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴x12?1≤0，x22?1≤0，
∴(x12?1)(x22?1)≥0，
此与（*）相矛盾，故假设不成立．