Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an?2n，(n∈N*)．（I） 求证：数列{1+an}是等比数列，并求数列{an}

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an?2n，(n∈N*)．（I） 求证：数列{1+an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；（II）设bn＝anan+1+1，试比较数列{bn}的前n项和Tn与2n?16的大小关系．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3a_n-2n-3a_n-1+2（n-1）
即n≥2时，a_n=3a_n-1+2
从而有n≥2时，a_n+1=3（a_n-1+1），
又2a₁=2S₁=3a₁-2得a₁=2，故a₁+1=3，
∴数列{1+a_n}是等比数列，an+1＝3n，即an＝3n?1．
（Ⅱ）bn＝

an

an+1+1

＝

3n?1

3n+1

＝

1

3

?

1

3n+1

，
则Tn＝

n

3

?(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

)＝

n

3

?

1

32

?

1? 1 3n

1? 1 3

＝

n

3

?

1

6

(1?

1

3n

)＞

2n?1

6

即Tn＞

2n?1

6

．