设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数
设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．...
设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．
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解答：证明：对任意x∈(?a，a)，f′(?x)＝
＝
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′(?x)＝
＝
＝f′(x)，
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）内的偶函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(?x+△x)?f(?x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f[?(x?△x)]?f(?x) |
| △x |
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′(?x)＝
| lim |
| △x→0 |
| ?f(x?△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x?△x)?f(x) |
| ?△x |
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）内的偶函数．
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