Question

极限的定义证明的时候 ε的数值该如何选取

Answer 1

新年好！新春愉快！
Happy New Year ！

楼主的问题是：
极限的定义证明的时候 ε的数值该如何选取？

答：
1、完全不存在选取ε的问题，ε 只是一个象征性的很小的数；
2、证明中，需要选取的是 N，或者是δ。
3、下面以N为例说明，δ的情况完全类似。
无论是N，还是δ，都是根据ε解出来的。

总体来说，ε-N 的证明方法是：
极限的证明过程，就是一个吵架的过程；
就是一个理性争辩、逻辑辩论的过程；
就是一个穷举法的精简过程。
1、我说：Xn的极限就是a，你不信。
2、你说：Xn与a有差值啊。
3、我说：你给以很小的数吧。
你给出一个很小很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当N大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当N大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
你又给，我又算，你再给，我再算，、、、、、、
我说，算了吧，你给一个象征性的很小的数，我算一个公式给你，你自己计算吧。
你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了N，从N后面起，差值就小于ε。

说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？

如果不明白，那就恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！可喜可贺！
如果明白了，那更恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！可喜可贺！
更重要的是，你已经超越了我们几十代人的智慧！
如果早生500年，世界数学中心就会根植黄土地！
现在大学里，就不会存在一大批酒囊饭袋、滥竽充数的教授了！

我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们落后，我们耻辱，因为我们有太多太多垃圾教授！

加油吧！
超越现在绝大部分的垃圾教授，轻而易举！
洗刷他们带给我们的奇耻大辱，任重道远！

国家的科学兴盛，全靠你们后辈了！

祝你们早日兴旺起我们的科研！
也祝草包教授们早日成为古人！早日位列仙班！

Answer 2

ε的任意性　
定义中ε的作用在于衡量数列通项Xn与常数a的接近程度。
ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意地小，说明Xn与常数a可以接近到任何程度。
但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它来求出N。
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε 等也都是任意小的正数，因此可用它们代替ε。
同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。
另外，定义中的lXn-al<ε也可改写成lXn-al<=ε。