Question

已知向量a=(cosa,sina),b=(cosβ，sinβ),且丨a-b丨=2倍根号5/5，求

Answer 1

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ，sinβ),且丨a-b丨=2倍根号5/5，
若-π/2＜β＜0＜α＜π/2，且sinβ=-5/13求sinα的值

【解】
向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),
则a^2=1，b^2=1，
ab= cosα cosβ+sinα sinβ=cos(α-β),

|a-b|=2√5/5，
平方得：|a-b|^2=4/5，
即a^2+b^2-2ab=4/5,
1+1-2 cos(α-β) =4/5,
cos(α-β) =3/5.

－π／2＜β＜0，且sinβ＝－5／13，
则cosβ=12/13.

0<α<π／2，－π／2＜β＜0，则0＜α-β＜π,
因为cos(α-β) =3/5.所以sin(α-β)=4/5.
所以sinα=sin[(α-β)+β]
= sin(α-β) cosβ +cos(α-β) sinβ
=33/65.