Question

（理科）已知二次函数f（x）=x 2 +ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．（Ⅰ）试

（理科）已知二次函数f（x）=x 2 +ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；（Ⅱ）试证明 M≥ 1 2 ；（Ⅲ）当 M= 1 2 时，试求出f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b| ∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b| ∴M≥|1+b| （Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）| 又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b| ∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2 ∴ M≥ 1 2 （Ⅲ）依 M= 1 2 时， |f(0)|=|b|≤ 1 2 ， - 1 2 ≤b≤ 1 2 ①同理 - 1 2 ≤1+a+b≤ 1 2 ② - 1 2 ≤1-a+b≤ 1 2 ③ ②+③得： - 3 2 ≤b≤- 1 2 ④由①、④得： b=- 1 2 ． 当 b=- 1 2 时，分别代入②、③得： -1≤a≤0 0≤a≤1 ?a=0 ，因此 f(x)= x 2 - 1 2 ．