Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）（1）△AEF与△ECF是否相似

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）当∠AEF=30°时，△AEF与△BCF相似吗？为什么？

Answer 1

解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴在△AEF与△DEG中，

∠A＝∠EDG AE＝DE ∠AEF＝∠DEG

∴△AEF≌△DEG（ASA）．
∴EF=EG，∠AFE=∠DGF
∴∠EGC=∠EFC，
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；

（2）相似．理由如下：
由（1）知，∠AFE=∠EGC=∠EFC．
则易求∠AEF=∠FCE=∠GCE=60°，
∴∠FCB=90°-30°-30°=30°=∠AEF．
∴在△AEF与△BCF中，∠AEF=∠FCB，∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCF．