如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正...
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
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（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∵PC∩BC=C，
∴AH⊥平面PBC，则∠ABH即是要求的角．
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，
∴tan∠PCA=
| PA |
| AC |
| 2 |
又PC=2，∴AC=
| 2 |
∴在直角△PAC中，AH=
| PA?AC | ||
|
2
| ||
| 3 |
在直角△ABH中，sin∠ABH=
| ||||
| 2 |
| ||
| 3 |
|
