如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:面PAC⊥面PBC;
如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:面PAC⊥面PBC;(2)若PA=AB=2,则当直线PC与平面ABC所成角正...
如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:面PAC⊥面PBC;(2)若PA=AB=2,则当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
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(1)证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)解:如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,
∵PC∩BC=C,
∴AH⊥平面PBC,则∠ABH即是要求的角.
∵PA⊥平面ABC,∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角,
∴tan∠PCA=
=
,
又PC=2,∴AC=
,
∴在直角△PAC中,AH=
=
在直角△ABH中,sin∠ABH=
=
,即AC与平面PBC所成角正弦值为
又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)解:如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,
∵PC∩BC=C,
∴AH⊥平面PBC,则∠ABH即是要求的角.
∵PA⊥平面ABC,∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角,
∴tan∠PCA=
PA |
AC |
2 |
又PC=2,∴AC=
2 |
∴在直角△PAC中,AH=
PA?AC | ||
|
2
| ||
3 |
在直角△ABH中,sin∠ABH=
| ||||
2 |
| ||
3 |
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