Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD ∥ AE，BD⊥BA，

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD ∥ AE，BD⊥BA， BD= 1 2 AE=2 ，O、M分别为CE、AB的中点．（1）求异面直线AB与CE所成角的大小．（2）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

（1）∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE， ∴DB⊥面ABC，∵BD ∥ AE，∴EA⊥面ABC， 如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴， 以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AC=BC=4， ∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4）， 则O（2，0，2），M（2，2，0）， CD =（0，4，2）， OD =（-2，4，0）， MD =（-2，2，2）， AB =(-4，4，0) ， CE =（4，0，4）， ∴cos＜ AB ， CE ＞= -16 4 2 ?4 2 =- 1 2 ， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为60°． （2）设平面ODM的法向量 n =（x，y，z），则由 n ⊥ OD 且 n ⊥ MD ， -2x+4y=0 -2x+2y+2z=0 ， 令x=2，则y=1，z=1，∴ n =（2，1，1）， 设直线CD和平面ODM所成角为θ， 则sinθ=|cos＜ n ， CD ＞|=| 0+4+2 6 ? 20 |= 6 2 30 = 30 10 ， ∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为 30 10 ．