Question

已知函数f（x）= x -2 m 2 +m+3 （m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并

已知函数f（x）= x -2 m 2 +m+3 （m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a [f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由函数 f(x)= x -2 m 2 +m+3 (m∈Z) 在（0，+∞）上为增函数， 得到-2m 2 +m+3＞0 解得 -1＜m＜ 3 2 ，又因为m∈Z， 所以m=0或1． 又因为函数f（x）是偶函数 当m=0时，f（x）=x 3 ，不满足f（x）为偶函数； 当m=1时，f（x）=x 2 ，满足f（x）为偶函数； 所以f（x）=x 2 ； （2） g(x)=lo g a ( x 2 -ax) ，令h（x）=x 2 -ax， 由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞） ∵g（x）在[2，3]上有定义， ∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x 2 -ax在[2，3]上为增函数． 当1＜a＜2时，g（x） max =g（3）=log a （9-3a）=2， a 2 +3a-9=0?a= -3±3 5 2 因为1＜a＜2，所以 a= -3+3 5 2 ． 当0＜a＜1时，g（x） max =g（2）=log a （4-2a）=2， ∴a 2 +2a-4=0，解得 a=-1± 5 ， ∵0＜a＜1，∴此种情况不存在， 综上，存在实数 a= -3+3 5 2 ，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．