Question

已知函数f（x）= sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相

已知函数f（x）= sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 。（1）求 f（ ）的值；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间。

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Answer 1

解：（1）f（x）= = =2sin（ - ） 因为f（x）为偶函数， 所以对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立， 因此sin（- - ）=sin（ - ） 即-sin cos（ - ）+cos sin（ - ） =sin cos（ - ）+cos sin（ - ）， 整理得sin cos（ - ）=0 因为 ＞0，且x∈R， 所以cos（ - ）=0 又因为0＜ ＜π， 故 - = 所以f（x）=2sin（ + ）=2cos 由题意得 ， 所以 =2 故f（x）=2cos2x。 所以 。 （2）将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到 的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象 所以， 当2kπ≤ ≤2kπ+π（k∈Z），即4kπ+ ≤x≤4kπ+ （k∈Z）时，g（x）单调递减 因此g（x）的单调递减区间为 （k∈Z）。