Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是______．①f（0）=0；②f（

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是______．①f（0）=0；②f（3）=3f（1）；③f（12）=12f（1）；④f（-x）f（x）＜0．

Answer 1

令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；
令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；
令x=y=

1

2

得f（1）=2f（

1

2

），所以f（

1

2

）=

1

2

f（1），所以③恒成立；
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（-x）f（x）=-[f（x）]²≤0，所以④不恒成立．
故答案为：①②③