Question

已知函数f（x）=ax2+12x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x

已知函数f（x）=ax2+12x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤12x2+12恒成立．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≤t2-2at+1对?x∈[-1，1]，?a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）求证：1f(1)+1f(2)+…+1f(n)＞2nn+2（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）又f（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c=

1

2

．…（2分）
又因为f（x）≤

1

2

x2+

1

2

对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式（a-

1

2

）x²+

1

2

x+c-

1

2

≤0，
即-cx²+

1

2

x+c-

1

2

≤0恒成立．
显然，当c=0时，不符合题意．
当c≠0时，应满足

?c＜0 △＝ 1 4 +4c(c? 1 2 )≤0

，即

c＞0 (4c?1)2≤0

可得a=c=

1

4

所以f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．             …（5分）
（Ⅱ）由于f（x）=

1

4

x²+