Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵

2π

ω

＝2×

π

2

，∴ω=2，∴f（x）告世稿=sin（2x+φ）-b．
又g(x)＝sin[2(x?

π

6

)+φ]?b+

3

为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝

π

3

，b＝

3

，袜孝
故f(x)＝sin(2x+

π

3

)?

3

．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求返扰得 ?

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ ，(k∈Z)，
故函数的增区间为[?

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ ，(k∈Z)，
故函数的减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)．
（3）∵f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，f（x）＜0，
∴[f（x）-1]m≥f²（x）-2f（x）+2=[f（x）-1]²+1，
整理可得m≤

[f(x)?1]2+1

f(x)?1

，即