Question

如图，抛物线y=ax2+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上x轴

如图，抛物线y=ax2+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

（1）将A（4，0），B（1，0）的坐标代入y=ax²+bx-2得

16a+4b?2＝0 a+b?2＝0

，
解得

a＝? 1 2 b＝ 5 2

，
故此抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-

1

2

m²+

5

2

m-2，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
则P（2，1），
②当

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

时，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去），
故符合条件的点P的坐标为P（2，1）．

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4）D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2，
过D作y轴的平行线交AC于E，
∵由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2，
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2），
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，∴D（2，1）．