Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当P

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=2AB=2，且VA-PED=13时，确定点E的位置，即求出PEEB的值．

Answer 1

解答：（（1）证明：∵四边形ABCD是正方形ABCD，∴AC⊥DB．
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩PB=P，
∴AC⊥面PDB，
∵AC?面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）解：设AC∩BD=O，则AO⊥BD
∵AO⊥PD，BD∩PD=D，
∴AO⊥面PDE，
∵AO=1，V_A-PED=

1

3

?AO?S_△PDE=

1

3

，
∴S_△PDE=1
在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=

2

∴Rt△PDB中斜边PB的高h=

2

，
∴

1

2

?h?PE=1，
∴PE=

2

，
∴

PE

EB

=1
即E为PB的中点．