Question

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=12BD，求证：BD是∠A

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=12BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

Answer 1

解答：证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，

∠ACF＝∠BCD＝90° AC＝BC ∠FAC＝∠DBC

∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=

1

2

BD，
∴AE=EF，即点E是AF的中点．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．