Question

用极限定义证明lim(x->+∞) （x^2+x+1）/（2x^2-x+2）=1/2

看清楚是用极限的定义证明啊，要求出ε。求各位大神帮忙~最好用纸写下来拍照片给我~

Answer 1

对任意 ε>0，要使
　　　　|(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　= |(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　= 3x/[2(2x^2-x+2)] (x>1)
　　　< 3x/[2(2x^2-x)]
　　　= 3/[2(2x-1)]
　　　< 3/(2x) < ε，
只需 x>3/(2ε)，取 X= 3/(2ε)+1，则对任意 x>X，都有
　　　　|(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　< 3x/[2(2x^2-x)]
　　　< 3/(2x)
< ε，
据极限的定义，得证。
求极限的基本方法：
(1)、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
(2)、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
(3)、运用两个特别极限；
(4)、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小
比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
(5)、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
(6)、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是
值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
(7)、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
(8)、特殊情况下，化为积分计算。
(9)、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

Answer 2

　　对任意 ε>0，要使
　　　　|(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　= |(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　= 3x/[2(2x^2-x+2)] (x>1)
　　　< 3x/[2(2x^2-x)]
　　　= 3/[2(2x-1)]
　　　< 3/(2x) < ε，
只需 x>3/(2ε)，取 X= 3/(2ε)+1，则对任意 x>X，都有
　　　　|(x^2+x+1)/(2x^2-x+2)-1/2|
　　　< 3x/[2(2x^2-x)]
　　　< 3/(2x) < ……< ε，
据极限的定义，得证。