Question

设a,b是非负数，求证：a^3+b^3>=(根号下ab)(a^2+b^2)

Answer 1

因为:2(a^3+b^3)=2((a+b)(a^2-ab+b^2)>=(a+b)(a^2+b^2)>=
(2根号ab)(a^2+b^2),故有:a^3+b^3>=(根号ab)(a^2+b^2)

Answer 2

a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)
a+b>=2根号(ab)...(1)
2(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab)=a^2+b^2+(a-b)^2>=a^2+b^2...(2)
(1)*(2)得:
(a+b)*2(a^2+b^2-ab)>=2根号(ab)*(a^2+b^2)
即a^3+b^3>=(根号ab)(a^2+b^2)

Answer 3

证明：不妨设0≤b≤a.则a²√a≥b²√b≥0.且√a-√b≥0.∴用（√a-√b)乘以不等式a²√a≥b²√b两边得：(√a-√b)×a²√a≥(√a-√b)×b²√b.===>a³-a²√(ab)≥b²√(ab)-b³.===>a³+b³≥(a²+b²)√(ab).