Question

请阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点

请阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系． 小聪同学的思路是：延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系______；（2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想．

Answer 1

（1）如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD ∥ BC ∥ GF， ∴∠DAM=∠HFM， ∵M是线段AF的中点， ∴AM=FM， 在△ADM和△FHM中， ∠DAM=∠HFM AM=FM ∠AMD=∠FMH ， ∴△ADM≌△FHM（ASA）， ∴DM=HM，AD=FH， ∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF， ∴GD=GH， ∴△DGH是等腰直角三角形， ∴DM=MG且DM⊥MG； （2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH， 同（1）可得DM=HM，AD=FH， ∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上， ∴∠DCG=90°-45°=45°， ∠HFG=45°， ∴∠DCG=∠HFG， 在△CDG和△FHG中， CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG ， ∴△CDG≌△FHG（SAS）， ∴GD=GH，∠CGD=∠FGH， ∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°， ∴△DGH是等腰直角三角形， ∴DM=MG且DM⊥MG； （3）如图3，过点F作FH ∥ AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N， 同（1）可得DM=HM，AD=FH， 易得∠NCE=∠EFN， ∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°， ∠HFG+∠EFN=90°， ∴∠DCG=∠HFG， 在△CDG和△FHG中， CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG ， ∴△CDG≌△FHG（SAS）， ∴GD=GH，∠CGD=∠FGH， ∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°， ∴△DGH是等腰直角三角形， ∴DM=MG且DM⊥MG．

Answer 2

（1）如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD∥BC∥GF，

∴∠DAM=∠HFM，

∵M是线段AF的中点，

∴AM=FM，

在△ADM和△FHM中，

∠DAM=∠HFM    

AM=FM    

∠AMD=∠FMH    

，

∴△ADM≌△FHM（ASA），

∴DM=HM，AD=FH，

∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，

∴GD=GH，

∴△DGH是等腰直角三角形，

∴DM=MG且DM⊥MG；

（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，

同（1）可得DM=HM，AD=FH，

∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，

∴∠DCG=90°-45°=45°，

∠HFG=45°，

∴∠DCG=∠HFG，

在△CDG和△FHG中，

CD=FH    

∠DCG=∠HFG    

CG=FG    

，

∴△CDG≌△FHG（SAS），

∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，

∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，

∴△DGH是等腰直角三角形，

∴DM=MG且DM⊥MG；

（3）如图3，过点F作FH∥AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，

同（1）可得DM=HM，AD=FH，

易得∠NCE=∠EFN，

∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，

∠HFG+∠EFN=90°，

∴∠DCG=∠HFG，

在△CDG和△FHG中，

CD=FH    

∠DCG=∠HFG    

CG=FG    

，

∴△CDG≌△FHG（SAS），

∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，

∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，

∴△DGH是等腰直角三角形，

∴DM=MG且DM⊥MG．