Question

如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，且PD=AD，E是PA的中点．（1）证明：PC∥平面EBC

如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，且PD=AD，E是PA的中点．（1）证明：PC∥平面EBC（2）证明：平面PBC⊥平面PCD（3）求BE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连结AC交BD于O，连接EO，
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC．
∵PC?平面EBD，EO?平面EBD
∴PC∥平面EBD…（4分）
（2）证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又DC∩PD=D，DC，PD?面PCD，
∴BC⊥平面PCD，BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）
（3）解：取AD中点F，
∵E是PA的中点，∴EF∥PD
∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
∴∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角．
设PD=2，则
∵EF=

1

2

PD，PD=AD，∴EF=1，BF=

5

，
∴tan∠EBF=

EF

BF

=

1

5

=

5

5

，即BE与平面ABCD所成角的正切值为

5

5

．…（12分）