Question

已知函数f(x)＝?13x3+x2+ax（a∈R）．（1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在其图

已知函数f(x)＝?13x3+x2+ax（a∈R）．（1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在其图象上任意一点（x0，f（x0））处切线的斜率都小于2a2，求实数a的取值范围．（3）若?x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝?

1

3

x3+x2+ax（a∈R），∴f^′（x）=-x²+2x+a．
当a=3时，f^′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）．
当x∈（-∞，-1）或（3，+∞）时，f^′（x）＜0；当x∈（-1，3）时，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递减；在区间（-1，3）上单调递增．
（2）∵f^′（x）=-x²+2x+a，∴函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率为f′(x0)＝?x02+2x0+a，
由题意可知：对任意的实数x₀，?x02+2x0+a＜2a2恒成立．
即2a2?a＞?x02+2x0对任意实数x₀恒成立?2a2?a＞[?x02+2x0]max，x∈R．
令φ（x₀）=?x02+2x0，则φ（x₀）=?(x0?1)2+1≤1，∴[?x02+2x0]max=1．
∴2a²-a＞1，
解得a＞1，或a＜?

1

2

．
∴a的取值范围是（-∞，?

1

2

）∪（1，+∞）．
（3）①当x=0时，f（0）=0，∵0＜0不可能，此时不存在a满足要求；
②当x∈（0，2]时，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，a＜[

1

3

x2?x]max．
∵φ（x）=

1

3

x2?x=

1

3

(x?

3

2

)2?

3

4

，∴φ（x）在区间（0，

3

2

）单调递减，在区间(

3

2

，2]单调递增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在区间（0，2]上无最大值．
经验证a=0 时适合题意．
∴a≤0．