已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上是最小值为32,

已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上是最小值为32,求a的值.... 已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数F(x)=f(x)?ax在[1,e]上是最小值为32,求a的值. 展开
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小苠V67YC
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(1)求导函数可得f′(x)=lnx+1(x>0)
令f′(x)>0,可得x>
1
e
;f′(x)<0,可得0<x<
1
e

∴函数的单调递增区间为(
1
e
,+∞),单调递减区间为(0,
1
e
).…(5分)
(2)F′(x)=
x+a
x2
(x>0)

当a≥0时,F′(x)>0,F(x)在[1,e]上单调递增,∴F(x)min=-a=
3
2
,∴a=-
3
2
,舍去       …(7分)
当a<0时,F(x)在(0,-a)单调递减,在(-a,+∞)单调递增
若a∈(-1,0),F(x)在[1,e]上单调递增,,∴F(x)min=-a=
3
2
,∴a=-
3
2
,舍去                     …(9分)
若a∈[-e,-1],F(x)在(1,-a)单调递减,在(-a,e)单调递增,
∴F(x)min=F(-a)=ln(-a)+1=
3
2
,∴a=-
e
,符合题意
若a∈(-∞,-e),F(x)在[1,e]上单调递减,F(x)min
e?a
e
3
2
?a=?
1
2
e?(?∞,?e)
舍去   …(11分)
综上所述:a=-
e
…(12分)
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