Question

求大神解两道高数题，急求！

1.fx=1-cosx/x x＜0时 =1/2x x≥0时，证明fx的导函数f‘x为连续函数。 2.fx=x+4ln(1+x) x≥1时 =ax²+bx+c x＜1时 试确定a,b,c的值，使fx在x=1处二阶可导，并求出f'x与f"x

Answer 1

1 f(x)=(1-cosx)/x x<0
f(x)=x/2 x≥0
lim<x→0->f(x)= lim<x→0->(1-cosx)/x
= lim<x→0->(x^2/2)/x = 0 ,
lim<x→0+>f(x)= lim<x→0+>x/2= 0=f(0),
故 f(x) 在 x=0 处连续。
左导数 f'<->(0)=lim<x→0->[(1-cosx)/x-0]/(x-0)= 1/2;
右导数 f'<+>(0)=lim<x→0+>(x/2-0)/(x-0)= 1/2.
故 f'(0)=1/2. 于是
f'(x)=(xsinx-1+cosx)/x^2 x<0
f'(x)=1/2 x≥0
lim<x→0->f'(x)= lim<x→0->(xsinx-1+cosx)/x^2
= lim<x→0->xcosx/(2x)= lim<x→0->cosx/2=1/2
=lim<x→0+>f'(x)= f'(0), 故 f'(x) 在 x=0 处连续。
2 f(x)=x+4ln(1+x) x≥1
f(x)=ax^2+bx+c x<1
lim<x→1+>f(x)= lim<x→1+>x+4ln(1+x)= 1+4ln2=f(1)
lim<x→1->f(x)= lim<x→1->ax^2+bx+c= a+b+c ,
二阶可导必连续， 则 a+b+c=1+4ln2;
左导数 f'<->(1)=lim<x→1->(ax^2+bx+c-1-4ln2)/(x-1)
= lim<x→1->(2ax+b)/1=2a+b,
右导数 f'<+>(1)=lim<x→1+>[x+4ln(1+x)-1-4ln2]/(x-1)
=lim<x→1+>[1+4/(1+x)]/1=3,
二阶可导必一阶导数存在， 则 2a+b=3;
f'(1)=3.
一阶导数是
f'(x)=1+4/(1+x) x>1
f'(x)=3 x=1
f'(x)=2ax+b x<1
二阶左导数 f''<->(1)=lim<x→1->(2ax+bx-3)/(x-1)
=lim<x→1->2a/1=2a,
二阶右导数 f''<+>(1)=lim<x→1+>[1+4/(1+x)-3]/(x-1)
=lim<x→1+>[-4/(1+x)^2]/1=-1,
二阶可导, 则 2a=-1， 得 a=-1/2, 故 b=4，c=4ln2-5/2.
故一阶导数是
f'(x)=1+4/(1+x) x>1
f'(x)=3 x=1
f'(x)=-x+4 x<1
二阶导数是
f'(x)=-4/(1+x)^2 x>1
f'(x)=-1 x≤1