Question

高一数学函数问题

设函数f（x）=x²+ax+3在【-1，1】上的最小值为g（a）。

（1）求g（a）的解析式

（2）若f（x）在【-1，1】上的最小值为-3，求a的值。

Answer 1

(1) f(x) = (x + a/2)² + 3 - a²/4

当 -1 ≤ -a/2 ≤ 1 ,即 -2 ≤ a ≤ 2时
g(a) = f(-a/2) = 3 - a²/4

当 -a/2 < -1 , 即 a > 2 时
g(a) = f(-1) = 4 - a

当 -a/2 > 1 , 即 a < -2 时
g(a) = f(1) = 4 + a

综上: g(a) = 3 - a²/4 (-2 ≤ a ≤ 2)
= 4 - a ( a > 2 )
= 4 + a ( a < -2 )

(2)
当-2 ≤ a ≤ 2时，
3 - a²/4 = -3
a = ±2√6 (舍去)

当 a > 2 时，
4 - a = -3
a = 7

当a < -2 时，
4 + a = -3
a = -7

综上 a = 7 或 -7

Answer 2

(1)
f(x)=(x+a/2)²+3-a²/4,结合图像观察，
当-a/2<-1时，a>=2,g(a)=f(-1)=4-a;
当-a/2>1时，a<=-2,g(a)=f(1)=4+a;
当-1<-a/2<1,-2<a<2,g(a)=f(-a/2)=3-a²/4
(2)
当a>=2时，g(a)=4-a=-3,a=7
当a<=-2时，g(a)=4+a=-3,a=-7
当-2<a<2时，则a²<4,g(a)=3-a²/4=-3,a²=24,不满足题意
综上，a=7或a=-7

Answer 3

设函数f（x）=x²+ax+3在【-1，1】上的最小值为g（a）。

（1）求g（a）的解析式
根据f'(x)=2x+a 的正负情况，可得 g(a)=-a+4, 或 g(a)=a+4
（2）若f（x）在【-1，1】上的最小值为-3，求a的值。
f(1)=a+4, f(-1)=-a+4,
分别有a+4=-3, -a+4=-3
可得 a=-7 或 a=7

Answer 4

(1)解：f（x）=x2+ax+3=(x+a/2)2+3-a2/4,由于-1<=x<=1,
则当a>2,g(a)=4-a
当a<-2,g(a)=4+a
当-2<=a<=2,g(a)=3-a2/4
(2)当g(a)=-3时，分别对（1）中各式求解a的值，并与a的取值范围向对照可以得到a=7或者-7。