Question

已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧 AB 上一个动点（P不与A、B重合），直线l是∠APB的平分线

已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧 AB 上一个动点（P不与A、B重合），直线l是∠APB的平分线．（1）画图并证明：当点P在优弧 AB 上运动时，∠APB的平分线l过定点Q；（2）当点P在优弧 AB 上运动时，△APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点P在⊙O上的位置；如果不能，请说明理由．

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Answer 1

证明：（1）如图， ∵∠APQ=∠BPQ， ∴弧AQ=弧BQ， ∴Q为弧AB的中点， 即∠APB的平分线过定点Q． （2）能取得最大值．理由如下： ∵AQ为定值， ∴当P到AQ的距离最大时，△APQ的面积取得最大值， 所以过圆心O作AQ的垂线交优弧AB于P点．如图．